辅导孩子数学学习的三重境界
在辅导孩子数学学习这个问题上，我身边的很多家长朋友都曾经跟我吐槽过，她们说一开始都是充满热忱、满怀爱心、细致入微、隐忍克制的，到最后大多都变成了拍案而起、憋成内伤，甚至还有人心梗住院，这是为什么呢？在我看来，答案只有一个，功力不够深厚啊。没错，辅导孩子数学学习绝对是咱们做父母的必修的一门武功，而且一定要修炼的炉火纯青，这样，咱们每天晚上面对孩子写作业的时候，才能见招拆招，咱们每个学期面对孩子一级一级往上升时，才能不在焦虑，才能处变不惊。
这么多年，我看到的、听到的家长辅导孩子学习的场景着实不少，现在静下心来仔细梳理了之后，我发现啊，辅导孩子数学学习其实分为这么三重境界： 首先会进入第一重境界，叫监督，监督什么呢？监督孩子养成良好的做数学作业的习惯。你在监督前上网搜索“如何才能培养孩子的良好作业习惯”，你会得出一大推这样的答案，比如，你要每天了解作业是什么？不要一回家就催促孩子写作业。你要创造一个不被打扰的作业环境。这种答案你看了几遍后，很容易记住对不对，你照做了，当然也没多想，久而久之倒也形成了习惯。这个时候你会认为，我已经付出了爱心、耐心和时间，这应该就是辅导吧。再有超出这个范围的事情，应该就是老师职责内的事情了吧。简单说，这一层境界就是“看山是山”，因此此时的“辅导”对你来说，只是一个抽象的概念。
这山慢慢看多了之后呢，我们可能就会下意识的比较，哪座山更高、哪座山更险？也就是说，家长们在完成了监督这个工作之后，会在后面加上一个比较的动作。比较什么呢？比较孩子作业完成质量的好坏。跟什么比呢？跟你心里的标准答案比。
换句话说，辅导孩子数学学习，此时就会进入到第二重境界，叫检查，检查孩子数学作业的正确性。因为在此之前，你监督的工作做得渐入佳境，对自己管理孩子的水平也慢慢有了自信，你会开始反思或者说研究，研究孩子们在学校的学习材料。从人教版的课本到苏教版的教辅，甚至到黄冈版的试卷。研究完了之后顿时发现，这么多年所学的数学知识终于派上了用场。这些知识在胸中蠢蠢欲动、呼之欲出。带着这种情绪下，你回头检查孩子的作业，特别是发现作业有错误时，你立刻想做的就是，让你心里的这些正确答案、解题技巧尽量多、尽量快的从你这传递到孩子那。具体表现有，能口算的，绝不允许孩子扳指头；能列方程，绝不允许孩子用普通算式；能列综合算式，决不允许孩子列分布算式。因为这样你就会觉得，我不仅付出了爱心、耐心和时间，更重要的是，还在放学的时间里，很好的弥补了老师的作用，甚至比老师教的还多，这应该就是辅导了吧。
如果我们把第一层的监督比作“看山是山”的话，那这第二层的检查就是“看山不是山”。因为这个时候，你对“辅导”这个抽象的概念，已经加入了自己的思考。换句话说，到达这一层的家长，基本已经跟孩子同步了，特别是跟孩子所学的书本同步、跟教辅同步了。
可遗憾的是，就我这么多年的观察，在这种辅导下成长的孩子，数学上的表现并不出色，尤其是到了高年级，情况会更加突出。这是为什么呢？回到我们刚刚说的，到达这一层的家长，可以说已经跟孩子同步了，跟孩子所学的书本同步、跟教辅同步了。你有没有注意到，这里面确实是跟孩子同步了，可同步的是什么？是孩子所学的知识，而不是孩子自身的思维水平和学习能力。也就是说，无论是第一层的监督，还是第二层的检查，还都不算真正的辅导。
“辅导”这个词在字典里的解释是，辅助和引导。所以我认为，家长辅导孩子数学学习的第三重境界是，也是最高的一层境界，是为了让孩子在获取知识的过程中，能认清自己整个的思考轨迹，家长所提供的辅助和引导。简单的说就是，家长所做的所有工作，都是为了辅助孩子弄明白他自己是怎么想的，引导孩子说清楚他自己是怎么想的。这个时候，你一方面很清楚孩子所学的数学知识，以及这些知识点在整个体系中承上启下的作用，另外一方面也感受到了，孩子们那看似稚嫩，有时更是天马行空的思路才是最宝贵的火花。同时，你也明白了，自己作为一个成年人，对数学知识的那些自信，完全不必通过这样一种简单快速甚至是粗暴的说教来展现。相反，你更愿意坐下来，用更长的时间和孩子平等的说话聊天，以等待他恍然惊呼的那一刹那—“哦，我发现了，其实是这样的”。
从此，你再遇到孩子问问题时，你心中再也没有了焦虑烦躁，而总是波澜不惊，淡然微笑的回到“你怎么想的”。此时的情形，就是“看山又是山”了。这里的山，从最初的一个抽象的概念，经过了思考和拆分，开始了重新构造，这种重新构造是在充分了解自己孩子独特个性基础上的，是在充分了解自己孩子实际思维水平上的。
你看，这辅导孩子数学学习是不是真就像我之前说的那样，像在修炼一门武功。修炼过程中大家状态各不相同，有只求问心无愧的、有追求严格规范的、也有力求形神兼备的。但有一点是相同的，那就是相信，只要平心静气、看清目标、掌握要领，每个家长都能成为孩子最好的数学老师。
这么多年，我看到的、听到的家长辅导孩子学习的场景着实不少，现在静下心来仔细梳理了之后，我发现啊，辅导孩子数学学习其实分为这么三重境界： 首先会进入第一重境界，叫监督，监督什么呢？监督孩子养成良好的做数学作业的习惯。你在监督前上网搜索“如何才能培养孩子的良好作业习惯”，你会得出一大推这样的答案，比如，你要每天了解作业是什么？不要一回家就催促孩子写作业。你要创造一个不被打扰的作业环境。这种答案你看了几遍后，很容易记住对不对，你照做了，当然也没多想，久而久之倒也形成了习惯。这个时候你会认为，我已经付出了爱心、耐心和时间，这应该就是辅导吧。再有超出这个范围的事情，应该就是老师职责内的事情了吧。简单说，这一层境界就是“看山是山”，因此此时的“辅导”对你来说，只是一个抽象的概念。
这山慢慢看多了之后呢，我们可能就会下意识的比较，哪座山更高、哪座山更险？也就是说，家长们在完成了监督这个工作之后，会在后面加上一个比较的动作。比较什么呢？比较孩子作业完成质量的好坏。跟什么比呢？跟你心里的标准答案比。
换句话说，辅导孩子数学学习，此时就会进入到第二重境界，叫检查，检查孩子数学作业的正确性。因为在此之前，你监督的工作做得渐入佳境，对自己管理孩子的水平也慢慢有了自信，你会开始反思或者说研究，研究孩子们在学校的学习材料。从人教版的课本到苏教版的教辅，甚至到黄冈版的试卷。研究完了之后顿时发现，这么多年所学的数学知识终于派上了用场。这些知识在胸中蠢蠢欲动、呼之欲出。带着这种情绪下，你回头检查孩子的作业，特别是发现作业有错误时，你立刻想做的就是，让你心里的这些正确答案、解题技巧尽量多、尽量快的从你这传递到孩子那。具体表现有，能口算的，绝不允许孩子扳指头；能列方程，绝不允许孩子用普通算式；能列综合算式，决不允许孩子列分布算式。因为这样你就会觉得，我不仅付出了爱心、耐心和时间，更重要的是，还在放学的时间里，很好的弥补了老师的作用，甚至比老师教的还多，这应该就是辅导了吧。
如果我们把第一层的监督比作“看山是山”的话，那这第二层的检查就是“看山不是山”。因为这个时候，你对“辅导”这个抽象的概念，已经加入了自己的思考。换句话说，到达这一层的家长，基本已经跟孩子同步了，特别是跟孩子所学的书本同步、跟教辅同步了。
可遗憾的是，就我这么多年的观察，在这种辅导下成长的孩子，数学上的表现并不出色，尤其是到了高年级，情况会更加突出。这是为什么呢？回到我们刚刚说的，到达这一层的家长，可以说已经跟孩子同步了，跟孩子所学的书本同步、跟教辅同步了。你有没有注意到，这里面确实是跟孩子同步了，可同步的是什么？是孩子所学的知识，而不是孩子自身的思维水平和学习能力。也就是说，无论是第一层的监督，还是第二层的检查，还都不算真正的辅导。
“辅导”这个词在字典里的解释是，辅助和引导。所以我认为，家长辅导孩子数学学习的第三重境界是，也是最高的一层境界，是为了让孩子在获取知识的过程中，能认清自己整个的思考轨迹，家长所提供的辅助和引导。简单的说就是，家长所做的所有工作，都是为了辅助孩子弄明白他自己是怎么想的，引导孩子说清楚他自己是怎么想的。这个时候，你一方面很清楚孩子所学的数学知识，以及这些知识点在整个体系中承上启下的作用，另外一方面也感受到了，孩子们那看似稚嫩，有时更是天马行空的思路才是最宝贵的火花。同时，你也明白了，自己作为一个成年人，对数学知识的那些自信，完全不必通过这样一种简单快速甚至是粗暴的说教来展现。相反，你更愿意坐下来，用更长的时间和孩子平等的说话聊天，以等待他恍然惊呼的那一刹那—“哦，我发现了，其实是这样的”。
从此，你再遇到孩子问问题时，你心中再也没有了焦虑烦躁，而总是波澜不惊，淡然微笑的回到“你怎么想的”。此时的情形，就是“看山又是山”了。这里的山，从最初的一个抽象的概念，经过了思考和拆分，开始了重新构造，这种重新构造是在充分了解自己孩子独特个性基础上的，是在充分了解自己孩子实际思维水平上的。
你看，这辅导孩子数学学习是不是真就像我之前说的那样，像在修炼一门武功。修炼过程中大家状态各不相同，有只求问心无愧的、有追求严格规范的、也有力求形神兼备的。但有一点是相同的，那就是相信，只要平心静气、看清目标、掌握要领，每个家长都能成为孩子最好的数学老师。
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yang_ling_7777
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jmking
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ibajier
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无言沛沛
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05天蝎座
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yang_ling_7777
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确实是这样的，这两天我正在写后面的内容，每一层具体的状态，家长应做的辅导。
yang_ling_7777
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谢谢，作为一个理科妈妈，看到这些评论，还是挺欣慰的，准备继续写下去。
sql1981
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情如水一般柔软
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robustmilk
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yang_ling_7777
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谢谢伙伴们的鼓励！
yang_ling_7777
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谢谢大家的肯定！
yang_ling_7777
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上一个帖子跟大家聊到，辅导孩子数学学习的三重境界，监督、检查、辅助和引导。那从这一期节目开始呢，咱们就来详细聊聊，每一层究竟是个什么状态，又是怎样达到这种状态。
辅导孩子数学的第一层境界是监督。监督什么呢？监督孩子养成好的数学学习习惯。这里面其实包含两个问题，第一，什么是好的数学学习习惯，第二，什么才是正确的监督。其实这两个问题之间是目标和方法的关系，只有弄清楚了什么是好的数学学习习惯这个目标，我们才能找到通往这个目标正确的方法，更准确的说，才能找到适合自己孩子的正确方法。
所以，咱们先来看看什么是好的数学学习的习惯？听到这，有的家长一定会说，这好的学习习惯，我们都知道啊，能说出一堆呢，每天固定时间写作业、书写认真、注意力集中这之类的。可请你注意，我说的是，学习数学的好习惯。这学习的好习惯和数学学习的好习惯，两者之间有区别吗？或者说，有必要专门区分出数学学习的好习惯吗？
咱们仔细琢磨一下“学习的好习惯”这个词组啊，意思是不是说，这个好习惯是对学习而言的，换句话说，就是为了更好的学习而形成的习惯。这听上去好像挺有道理的，可如果你联想到我们生活中的一个现象，你就会发现这里面有哪里不对。
什么现象呢？每次考试前，你可能都会对孩子说，好好学习啊，争取考个好成绩。结果呢，情况往往不尽如人意。这时，你这边呢会觉的纳闷，我都说了啊，让他好好学习。孩子那边呢其实完全不知所措，特别是低年级的时候。好好学习是什么意思？学校里没有一个叫做“学习”的科目啊？
你看，这里面的问题就是指令太不具体。“学习”它的含义学习，是指通过阅读、听讲、思考等一系列途径获得知识或技能的过程。也就是说，学习只是一个过程，是一个获得某类知识的过程。如果只说“好好学习”，这个动作是无法完成的，因为根本不知道要好好的学习什么？
同样的道理，学习的好习惯，自然也是一句空话。必须指明是学习什么，这好习惯才真正能够落地，能够执行。也就是说，相对于好的学习习惯，讨论什么是好的数学学习的习惯才是真正有意义的。
那到底什么样的习惯才是好的数学习惯呢？要弄清楚这个问题啊， 咱们先来看看另一个场景。有不少妈妈们都热衷于练瑜伽。你看啊，我之前一直以为瑜伽就是那些看上去很厉害、很匪夷所思的体位，于是呢，我练习瑜伽的所以习惯当然就是冲着要尽可能的完成那些体位去的。可练了很长一段时间之后，胳膊腿到处疼不说，原来搞不定的体位，现在还是搞不定，弄的我很有挫败感。
可最近我的一位好朋友喜喜告诉我，瑜伽其实来源于古印度的哲学派别，它讲究的是“梵我合一”。我才慢慢开始明白，原来瑜伽追求的是，身体，心灵和精神的和谐。那么自然，我练习瑜伽的习惯也发生了改变，不再一位追求体位的难度，而更注意了呼吸。就这个习惯一改变，效果还真是明显，以前很多做不到的动作，现在都不知不觉可以做到了。
我想只有在真正了解了学习对象的精髓之后，你才有可能发现所谓好的习惯，同时才有可能辨别哪些才是好的习惯。
好的数学学习习惯也是如此，要想找到它，咱们必须得先弄清楚，什么是数学？我们中的绝大部分人都学了至少12年的数学，可现在要说清楚“什么是数学”好像还是很困难。当然这不怪你，事实上在数学界，也有很多不同的观点。目前大家比较认同的一种说法是“数学是研究模式的一门科学”。通俗的说，“数学就是研究数量之间关系的一门学科”。你看，这句话里面有两个关键词，“数量”和“数量关系”。
这个“数量”，大家可能都觉得比较熟悉，就是我们日常理解的数字啊。比方说一个苹果，生物学关心的是这个苹果的生产环境，化学关心的是这个苹果的成分，物理学关心的是这个苹果的运动，而数学则关心这个“1”，跟是否是苹果无关。
其实，把“数量”理解成“数字”是一种相对狭义的理解，在“数量关系”中，这个“数量”还有一个相对广义的理解，就是指“一个事物可量化的特征”。那数学中研究的“数量关系”重点关注的就是，几个事物的可量化特征之间的关系。
我给你举个例子，你就明白了。现在有8个苹果，平均分给4个小朋友，问每个小朋友可以分多少个？这里面8，4，就是数字。苹果的总个数，小朋友的个数，每个小朋友分得的个数，就是三个数量，苹果的总个数除以小朋友的个数能得到每个小朋友分得的个数，就是三个数量之间的关系。
到这呢，你应该就明白了，数学的精髓就是数量之间关系。那么我们前面所说的，好的数学学习的习惯，意思就是，为了更好的理解数量之间的关系而要养成的习惯。换句话说，只要能帮助孩子们深刻的理解数量之间的关系，这样的习惯就是好习惯。
那么这样的好习惯具体有哪些，作为家长我们又该如何科学的监督呢，未完待续。
如果大家有兴趣，可以关注我的个人公众号，有更丰富的内容。（gh_608a24fe20b6）
yang_ling_7777
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之前的内容中，大家都知道了，数量除了数字这个浅层次的含义，更深一层的含义是，事物可以量化的特征。也就是说，要弄清楚这句话，就必须得搞清楚三样东西，事物是什么？事物的特征是什么？事物的特征用什么东西量化？
我给你举个例子啊。苹果的总数。这里面，事物是苹果，特征是总数，这个总数呢就可以用个数去衡量。你看啊，这个时候，事物是什么？事物的特征是什么？事物的特征用什么东西量化？这三个问题好像都很容易。但不是每次都这么幸运的。
我再举个例子，三角形的高。这里面，事物是三角形，特征是高，这个高可以用长度去衡量。这个时候，事物是什么，怎么去度量都好理解，但是，这个事物的特征，三角形的高，有点模模糊糊，似懂非懂。要知道，数学中最怕的就是这种模模糊糊，似懂非懂的感觉。在我看来，家长辅导孩子最重要的一个作用，其实就是帮助孩子们筛查出这些似懂非懂的地方。至于筛查出来了要怎么处理，这个我会在后面的节目中，再详细讲。
那要想不出现这种似懂非懂的状态，最好的办法，就是回到书本的概念中，一字一句的仔细琢磨字面含义。你比如我们刚才提到的，三角形的高。书本上三角形的高是这么定义的，从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形在这条边上的高。
琢磨清楚这个定义之后，你有没有一种恍然大悟的感觉，原来之前说的那句，三角形的高，根本就有问题的。因为根据定义说，高是一个顶点向它的对边所做的一条垂线。如果只笼统的说三角形的高，不具体指明是哪个顶点或那条边上的高，是没有任何意义的。就如同你对孩子说，请帮我画一个正方形。严格意义上，这个指令也是有问题的，因为太不具体，你并没有说明你需要画一个多大的正方形。
你看啊，在我们的生活中，任何一件工作或一个问题，你描述的越具体，就越说明你对它的理解越深刻，你描述的越不具体，其实也就说明，你没有真的弄懂它。我平时啊，就是依据这个原则去判断一篇文章质量的好坏，大家也可以试试的。
所以，咱们说到这，就可以得出今天的第一个结论，要想弄明白数学中的数量，是必须借助概念的。换句话说，能帮助孩子们深刻理解数量的好习惯，就是仔细琢磨概念。只有概念弄清楚了，才能真正弄清楚，数量中，事物是什么？事物的特征是什么？事物的特征用什么东西度量？也只有数学概念弄清楚了，才谈得上后面的所有逻辑推理和证明。
那好，咱们接着说，说完了数量，数学中还有另一个重要的内容，就是数量之间的关系。据我这么多年的在学校教数学的观察啊，不管是小学生还是大学生，学习数学感到困难的，大部分都在这个数量关系上。
而目前呢，无论是学校还是家庭，还都没有破解这个难题。一方面，学校老师由于书本教材，教学进度，生师比啊等等这些外部条件的的限制，无法给孩子系统的指导。另一方面，家长由于缺乏对数学这个科目本质属性的了解，也无法给孩子针对性的指导。
听到这，有的家长就会说了，那就去上补习班吗，送到培训机构去。那这里面就存在一个选择的问题了，你应该如何判断一个补习班、一个培训机构在教授数量关系这个方面做的好还是不好。这个问题，有机会，咱们单独讲一期。因为这也是我被问到很多次的一个问题。
事实上啊，理解数量关系的过程，就是培养数学模型思维的过程。这个过程中，有两个重要场景，第一，从概念中提炼出模型。第二，从经典习题中提炼出模型。我还是给您举几个例子，您就明白了。比如，余数的概念是，整数除法中，被除数未被除尽部分。根据这个概念，就能提炼出一个模型，就是我们熟悉的，被除数÷除数=商余余数。再往下深入一步，其实是可以整理出被除数、除数、商、余数之间的另外3个模型的。也就是除数= （被除数- 余数）÷商 这之类的。那这4个模型其实就是从概念中提炼出来的。
你再比如，我们之前举过的一个例子，8个苹果，平均分给4个小朋友，每个小朋友可以分几个。那么大部分的孩子，甚至是大部分的老师和家长，都比较关注，8÷4=2这个式子是否能做出来。事实上，我们更应该思考的是，为什么要用8÷4？这是因为，苹果的总数÷小朋友的个数=每个小朋友能平均分得的个数，如果再深入一步，是可以整理出苹果的总数，小朋友的个数，每个小朋友能平均分得的个数这三个数量之间的另外2个模型的。也就是说，做这道练习题，能写出8÷4根本不是关键，能从这道练习题中，提炼出3个模型才是关键，因为模型反映了数量之间的关系，才反映了数学的精髓。
那说到这啊，我们就可以得出今天的第二个结论，要想弄明白数学中的数量关系，是需要从概念和经典习题中总结模型的。没有模型的总结，即使是题海战术效果也不会太好，而善于对模型进行总结，就能达到事半功倍的效果。
其实我之所以创办数学编程俱乐部，就是因为，我在辅导自己孩子数学的时候，发现他的注意力太容易被习题中具体的数字所限制，一旦他写出了具体的算式，就很容易认为，这个题他掌握了。其实从模型的角度来看，他并没有真的吃透。后来，在他用编程的方式学习数学的时候，由于程序设计的特殊要求，就迫使他不得不把注意力放在模型上，也就让他离数学的本质越来越近了。
好，咱们总结一下今天的内容，能帮助孩子们深刻的理解，数量和数量关系的好习惯呢，主要有两个，第一个是仔细揣摩数学概念，第二个是善于从数学概念和经典习题中总结模型关系。
那作为家长，在监督孩子学习的时候，就应该细心观察，孩子是否有这两种习惯。孩子每天晚上做数学作业的时候，是先把书本看一遍，还是直接抓起作业就写。孩子每做完一道题的时候，是能讲出来他为什么这样做，还是永远说不清楚，着急的时候就会回一句，“反正就是这样做”。
如果还没有养成这两个学习数学的好习惯，家长就可以有意识的提醒，提醒他们应该完成这两个重要的步骤。可惜的是，处在这一层辅导境界的家长，对于这两个重要步骤的判断，只是孩子做了，或者是没有做。至于做的怎么样，做到哪种程度了，其实并不了解。这就需要家长们进一步精进到辅导的第二层境界-检查，这样就能判断出孩子做的怎么样，做到哪种程度了。我会在下一节的内容当中为你具体讲述清楚辅导孩子的第二层境界。
想知道更多内容，可以关注我的个人公众号（mathcodingclub）